markdown 公式
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markdown 公式 #

来源:一文学会在 Markdown 中编辑数学符号与公式


  • 行内公式:将公式插入到本行内

我在 1 年后:$0.99^{365} \approx 0.02551796$

$0.99^{365} \approx 0.02551796$
  • 单独的公式块:将公式插入到新的一行内,并且居中

观众老爷们在 1 年后:

$$ 1.01^{365} \approx 37.78343433 $$

$$
1.01^{365} \approx 37.78343433
$$

符号 #

上下标、运算符 #

显示效果markdown 公式语法
上标$x^2、 x^y 、e^{365}$x^2、 x^y 、e^{365}
下标$x_0、a_1、Y_a$x_0、a_1、Y_a
分式$\frac{x}{y}、\frac{1}{x+1}$\frac{x}{y}、\frac{1}{x+1}
$\times$\times
$\div$\div
加减$\pm$\pm
减加$\mp$\mp
求和$\sum$\sum
求和上下标$\sum_0^3 、\sum_0^{\infty} 、\sum_{-\infty}^{\infty}$\sum_0^3 、\sum_0^{\infty} 、\sum_{-\infty}^{\infty}
求积$\prod$\prod
微分$\partial$\partial
积分$\int 、\displaystyle\int$\int 、\displaystyle\int
不等于$\neq$\neq
大于等于$\geq$\geq
小于等于$\leq$\leq
约等于$\approx$\approx
不大于等于$x+y \ngeq z$x+y \ngeq z
点乘$a \cdot b$a \cdot b
星乘$a \ast b$a \ast b
取整函数$\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor$\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor
取顶函数$\left \lceil \frac{c}{d} \right \rceil$\left \lceil \frac{c}{d} \right \rceil

括号 #

显示效果markdown 公式语法
圆括号(小括号)$\left( \frac{a}{b} \right)$\left( \frac{a}{b} \right)
方括号(中括号)$\left[ \frac{a}{b} \right]$或者$[ \frac{x}{y} ]$\left[ \frac{a}{b} \right]或者[ \frac{x}{y} ]
花括号(大括号)$\lbrace \frac{a}{b} \rbrace$\lbrace \frac{a}{b} \rbrace
角括号$\left \langle \frac{a}{b} \right \rangle$\left \langle \frac{a}{b} \right \rangle
混合括号$\left [ a,b \right )$\left [ a,b \right )

三角函数、指数、对数 #

显示效果markdown 公式语法
sin$\sin(x)$\sin(x)
cos$\cos(x)$\cos(x)
tan$\tan(x)$\tan(x)
cot$\cot(x)$\cot(x)
log$\log_2 10$\log_2 10
lg$\lg 100$\lg 100
ln$\ln2$\ln2

数学符号 #

显示效果markdown 公式语法
无穷$\infty$\infty
矢量$\vec{a}$\vec{a}
一阶导数$\dot{x}$\dot{x}
二阶导数$\ddot{x}$\ddot{x}
算数平均值$\bar{a}$\bar{a}
概率分布$\hat{a}$\hat{a}
虚数 i、j$\imath、\jmath$\imath、\jmath
省略号(一)$1,2,3,\ldots,n$1,2,3,\ldots,n
省略号(二)$x_1 + x_2 + \cdots + x_n$x_1 + x_2 + \cdots + x_n
省略号(三)$\vdots$\vdots
省略号(四)$\ddots$\ddots
斜线与反斜线$\left / \frac{a}{b} \right \backslash$\left / \frac{a}{b} \right \backslash
上下箭头$\left \uparrow \frac{a}{b} \right \downarrow$\left \uparrow \frac{a}{b} \right \downarrow
$\angle$$\angle$\angle
$\prime$$\prime$\prime
$\rightarrow$$\rightarrow$\rightarrow
$\leftarrow$$\leftarrow$\leftarrow
$\Rightarrow$$\Rightarrow$\Rightarrow
$\Leftarrow$$\Leftarrow$\Leftarrow
$\Uparrow$$\Uparrow$\Uparrow
$\Downarrow$$\Downarrow$\Downarrow
$\longrightarrow$$\longrightarrow$\longrightarrow
$\longleftarrow$$\longleftarrow$\longleftarrow
$\Longrightarrow$$\Longrightarrow$\Longrightarrow
$\Longleftarrow$$\Longleftarrow$\Longleftarrow
$\nabla$$\nabla$\nabla
$\because$$\because$\because
$\therefore$$\therefore$\therefore
$\mid$$\mid$\mid
$\backslash$$\backslash$\backslash
$\forall$$\forall$\forall
$\exists$$\exists$\exists
$\backsim$$\backsim$\backsim
$\cong$$\cong$\cong
$\oint$$\oint$\oint
$\implies$$\implies$\implies
$\iff$$\iff$\iff
$\impliedby$$\impliedby$\impliedby

连线符号 #

显示效果markdown 公式语法
$\overleftarrow{a+b+c}$\overleftarrow{a+b+c}
$\overrightarrow{a+b+c}$\overrightarrow{a+b+c}
$\overleftrightarrow{a+b+c}$\overleftrightarrow{a+b+c}
$\underleftarrow{a+b+c}$\underleftarrow{a+b+c}
$\underrightarrow{a+b+c}$\underrightarrow{a+b+c}
$\underleftrightarrow{a+b+c}$\underleftrightarrow{a+b+c}
$\overline{a+b+c}$\overline{a+b+c}
$\underline{a+b+c}$\underline{a+b+c}
$\overbrace{a+b+c}^{Sample}$\overbrace{a+b+c}^{Sample}
$\underbrace{a+b+c}_{Sample}$\underbrace{a+b+c}_{Sample}
$\overbrace{a+\underbrace{b+c}_{1.0}}^{2.0}$\overbrace{a+\underbrace{b+c}_{1.0}}^{2.0}
$\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{b\text{ times}}$\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{b\text{ times}}

高级运算符 #

显示效果markdown 公式语法
平均数运算$\overline{xyz}$\overline{xyz}
开二次方运算$\sqrt {xy}$\sqrt {xy}
开方运算$\sqrt[n]{x}$\sqrt[n]{x}
极限运算(一)$\lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$\lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
极限运算(二)$\displaystyle \lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$\displaystyle \lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
求和运算(一)$\sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$\sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
求和运算(二)$\displaystyle \sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$\displaystyle \sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
积分运算(一)$\int^{\infty}_{0}{xdx}$\int^{\infty}_{0}{xdx}
积分运算(二)$\displaystyle \int^{\infty}_{0}{xdx}$\displaystyle \int^{\infty}_{0}{xdx}
微分运算$\frac{\partial x}{\partial y}、\frac{\partial^2x}{\partial y^2}$\frac{\partial x}{\partial y}、\frac{\partial^2x}{\partial y^2}

集合运算 #

显示效果markdown 公式语法
属于$A \in B$A \in B
不属于$A \notin B$A \notin B
子集$x \subset y、y \supset x$x \subset y、y \supset x
真子集$x \subseteq y、y \supseteq x$x \subseteq y、y \supseteq x
并集$A \cup B$A \cup B
交集$A \cap B$A \cap B
差集$A \setminus B$A \setminus B
同或$A \bigodot B$A \bigodot B
同与$A \bigotimes B$A \bigotimes B
异或$A \bigoplus B$A \bigoplus B
实数集合$\mathbb{R}$\mathbb{R}
自然数集合$\mathbb{Z}$\mathbb{Z}

希腊字母 #

大写字母markdown 语法小写字母markdown 语法中文注音
$A$A$\alpha$\alpha阿尔法
$B$B$\beta$\beta贝塔
$\Gamma$\Gamma$\gamma$\gamma伽马
$\Delta$\Delta$\delta$\delta德尔塔
$E$E$\epsilon$\epsilon伊普西龙
$Z$Z$\zeta$\zeta截塔
$H$H$\eta$\eta艾塔
$\Theta$\Theta$\theta$\theta西塔
$I$I$\iota$\iota约塔
$K$K$\kappa$\kappa卡帕
$\Lambda$\Lambda$\lambda$\lambda兰布达
$M$M$\mu$\mu
$N$N$\nu$\nu
$\Xi$\Xi$\xi$\xi克西
$O$O$\omicron$\omicron奥密克戎
$\Pi$\Pi$\pi$\pi
$P$P$\rho$\rho
$\Sigma$\Sigma$\sigma$\sigma西格马
$T$T$\tau$\tau
$\Upsilon$\Upsilon$\upsilon$\upsilon宇普西龙
$\Phi$\Phi$\phi$\phi佛爱
$X$X$\chi$\chi西
$\Psi$\Psi$\psi$\psi普西
$\Omega$\Omega$\omega$\omega欧米伽

字体转换 #

若要对公式的某一部分字符进行字体转换,可以用 {\font {需转换的部分字符}} 命令,其中\font部分可以参照下表选择合适的字体。一般情况下,公式默认为意大利体。

字体显示效果markdown 语法
罗马体$\rm D$\rm D
花体$\cal D$\cal D
意大利体$\it D$\it D
黑板粗体$\Bbb D$\Bbb D
粗体$\bf D$\bf D
数学斜体$\mit D$\mit D
等线体$\sf D$\sf D
手写体$\scr D$\scr D
打字机体$\tt D$\tt D
旧德式字体$\frak D$\frak D
黑体$\boldsymbol D$\boldsymbol D

公式 #

基本函数公式 #

  • 行内公式:$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$
$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$
  • 行间公式:

$$ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt $$

$$
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
$$

  • $y_k=\varphi(u_k+v_k)$
$y_k=\varphi(u_k+v_k)$
  • $y(x)=x^3+2x^2+x+1$
$y(x)=x^3+2x^2+x+1$
  • $x^{y}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy}$
$x^{y}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy}$
  • $\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^{n}{n*(n+1)}$
$\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^{n}{n*(n+1)}$

分段函数 #

  • 分段函数:

$$ y=\begin{cases} 2x+1, & x \leq0\\ x, & x>0 \end{cases} $$

$$
y=\begin{cases}
2x+1, & x \leq0\\\\
x, & x>0
\end{cases}
$$
  • 方程组:

$$ \left \{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array} \right. $$

$$
\left \\{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
$$

积分 #

  • 积分书写:

$$ \int_{\theta_1(x)}^{\theta_2(x)}=l $$

$$
\int_{\theta_1(x)}^{\theta_2(x)}=l
$$
  • 二重积分:

$$ \iint dx dy=\sigma $$

$$
\iint dx dy=\sigma
$$
  • 三重积分:

$$ \iiint dx dydz=\nu $$

$$
\iiint dx dydz=\nu
$$

微分和偏微分 #

  • 一阶微分方程:

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$

$$
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
$$

$$ \left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right|_{x=0}=3x+1=1 $$

$$
\left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right|_{x=0}=3x+1=1
$$
  • 二阶微分方程:

$$ y’’+py’+qy=f(x) $$

$$
y''+py'+qy=f(x)
$$

$$ \frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x) $$

$$
\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)
$$
  • 偏微分方程:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}= h^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) $$

$$
\frac{\partial u}{\partial t}= h^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)
$$

矩阵和行列式 #

起始标记 \begin{matrix} ,结束标记\end{matrix},每一行末尾标记\\,行间元素之间以&分隔。在起始、结束标记处用下列词替换matrix

  • pmatrix :小括号边框

$$ \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{pmatrix} $$

$$
\begin{pmatrix}
1&2\\\\
3&4\\\\
\end{pmatrix}
$$
  • bmatrix :中括号边框

$$ \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{bmatrix} $$

$$
\begin{bmatrix}
1&2\\\\
3&4\\\\
\end{bmatrix}
$$
  • Bmatrix :大括号边框

$$ \begin{Bmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{Bmatrix} $$

$$
\begin{Bmatrix}
1&2\\\\
3&4\\\\
\end{Bmatrix}
$$
  • vmatrix :单竖线边框

$$ \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{vmatrix} $$

$$
\begin{vmatrix}
1&2\\\\
3&4\\\\
\end{vmatrix}
$$
  • Vmatrix :双竖线边框

$$ \begin{Vmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{Vmatrix} $$

$$
\begin{Vmatrix}
1&2\\\\
3&4\\\\
\end{Vmatrix}
$$
  • 无框矩阵:

$$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{matrix} $$

$$
\begin{matrix}
    1 & x & x^2 \\\\
    1 & y & y^2 \\\\
    1 & z & z^2 \\\\
\end{matrix}
$$
  • 单位矩阵:

$$ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} $$

$$
\begin{bmatrix}
1&0&0\\\\
0&1&0\\\\
0&0&1\\\\
\end{bmatrix}
$$
  • $m \times n$矩阵:

$$ A=\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix} $$

$$
A=\begin{bmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\\\
{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\\\
\end{bmatrix}
$$
  • 行列式:

$$ D=\begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{vmatrix} $$

$$
D=\begin{vmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\\\
{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\\\
\end{vmatrix}
$$
  • 表格:

$$ \begin{array}{c|lll} {}&{a}&{b}&{c}\\ \hline {R_1}&{c}&{b}&{a}\\ {R_2}&{b}&{c}&{c}\\ \end{array} $$

$$
\begin{array}{c|lll}
{}&{a}&{b}&{c}\\\\
\hline
{R_1}&{c}&{b}&{a}\\\\
{R_2}&{b}&{c}&{c}\\\\
\end{array}
$$
  • 增广矩阵:

$$ \left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array} \right] $$

$$
\left[  \begin{array}  {c c | c}
1 & 2 & 3 \\\\
4 & 5 & 6 \\\\
\end{array}  \right]
$$

案例 #

  • ^表示上标, _ 表示下标。如果上下标的内容多于一个字符,需要用{}将这些内容括成一个整体。上下标可以嵌套,也可以同时使用。

$$ x^{y^z}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w} $$

$$
x^{y^z}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w}
$$

其中\rm表示字体转换,上面有过具体说明。

  • ()[]|表示符号本身,使用 \{ \} 来表示 {}。当要显示大号的括号或分隔符时,要用 \left \right 命令。

$$ f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right) $$

$$
f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right)
$$
  • 行标的使用:在公式末尾前使用\tag{行标}来实现行标。

$$ f\left( \left[ \frac{ 1+\left\{x,y\right\} }{ \left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right) \left(u+1\right) }+a \right]^{3/2} \right) \tag{公式1} $$

$$
f\left(
   \left[
     \frac{
       1+\left\\{x,y\right\\}
     }{
       \left(
          \frac{x}{y}+\frac{y}{x}
       \right)
       \left(u+1\right)
     }+a
   \right]^{3/2}
\right)
\tag{公式1}
$$
  • 有时要用 \left. \right. 进行匹配而不显示本身。

$$ \left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0} $$

$$
\left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0}
$$
  • 添加注释文字 \text

$$ f(n)= \begin{cases} n/2, & \text {if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \\ \end{cases} $$

$$
f(n)= \begin{cases}
n/2, & \text {if $n$ is even} \\\\
3n+1, & \text{if $n$ is odd} \\\\
\end{cases}
$$
  • 整齐且居中的方程式序列

$$ \begin{align} \sqrt{37} & = \sqrt{\frac{73^2-1}{12^2}} \\ & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}\cdot\frac{73^2-1}{73^2}} \\ & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}}\sqrt{\frac{73^2-1}{73^2}} \\ & = \frac{73}{12}\sqrt{1-\frac{1}{73^2}} \\ & \approx \frac{73}{12}\left(1-\frac{1}{2\cdot73^2}\right) \\ \end{align} $$

$$
\begin{align}
    \sqrt{37} & = \sqrt{\frac{73^2-1}{12^2}} \\\\
              & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}\cdot\frac{73^2-1}{73^2}} \\\\
              & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}}\sqrt{\frac{73^2-1}{73^2}} \\\\
              & = \frac{73}{12}\sqrt{1-\frac{1}{73^2}} \\\\
              & \approx \frac{73}{12}\left(1-\frac{1}{2\cdot73^2}\right) \\\\
\end{align}
$$
  • 在一个方程式序列的每一行中注明原因

$$ \begin{align} v + w & = 0 & \text{Given} \tag 1 \\ -w & = -w + 0 & \text{additive identity} \tag 2 \\ -w + 0 & = -w + (v + w) & \text{equations $(1)$ and $(2)$} \\ \end{align} $$

$$
\begin{align}
    v + w & = 0  & \text{Given} \tag 1 \\\\
       -w & = -w + 0 & \text{additive identity} \tag 2 \\\\
   -w + 0 & = -w + (v + w) & \text{equations $(1)$ and $(2)$} \\\\
\end{align}
$$
  • 文字在左对齐显示

$$ \left. \begin{array}{l} \text{if $n$ is even:} & n/2 \\ \text{if $n$ is odd:} & 3n+1 \\ \end{array} \right\} =f(n) $$

$$
    \left.
        \begin{array}{l}
            \text{if $n$ is even:} & n/2 \\\\
            \text{if $n$ is odd:} & 3n+1 \\\\
        \end{array}
    \right\\}
    =f(n)
$$
  • 连分式

$$ x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1 + \cfrac{2^2}{a_2 + \cfrac{3^2}{a_3 + \cfrac{4^4}{a_4 + \cdots } } } } $$

$$
x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1 +
            \cfrac{2^2}{a_2 +
              \cfrac{3^2}{a_3 +
                \cfrac{4^4}{a_4 +
                  \cdots
                }
              }
            }
          }
$$
  • 表格

通常,一个格式化后的表格比单纯的文字或排版后的文字更具有可读性。 数组和表格均以 \begin{array} 开头,并在其后定义列数及每一列的文本对齐属性,c l r 分别代表居中、左对齐及右对齐。若需要插入垂直分割线,在定义式中插入 | ,若要插入水平分割线,在下一行输入前插入 \hline 。 与矩阵相似,每行元素间均须要插入 & ,每行元素以 \\ 结尾,最后以 \ end{array} 结束数组。

$$ \begin{array}{c|lcr} n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array} $$

$$
\begin{array}{c|lcr}
    n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\\\
    \hline
    1 & 0.24 & 1 & 125 \\\\
    2 & -1 & 189 & -8 \\\\
    3 & -20 & 2000 & 1+10i \\\\
\end{array}
$$

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